segitiga dasar ; geometri bidang dan ruang

MAKALAH

Segitiga

Makalah  ini kami ajukan untuk memenuhi tugas wajib setiap kelompok sebagai penunjang nilai Mata Kuliah Geometri Bidang dan Ruang.

                      Disusun oleh :

·         Tiana jeanita

·         Wati catwati

·         Vivi oktaviani

·         Wakhidin

Semester 1 C

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Prodi Pendidikan Matematika
Universitas Wiralodra Indramayu

2011

                     KATA PENGANTAR

Pertama-tama marilah kita panjatkan puji dan syukur kehadiat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya, sehingga kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dengan lancar dan tanpa kendala yang begitu berarti.

Sholawat serta salam tak lupa terlimpah curakan kepada kepada Nabi Muhammad SAW, serta Keluarga dan Sahabatnya. Dan tak lupa pula kami sampaikan rasa terimakasih yang sebesar-besarnya kepada Dosen pengajar mata kuliah Geometri Bidang dan Ruang yakni ibu Ayi Krisnha Murti P,S.Pd. dan rekan-rekan mahasiswa FKIP. Matematika semester I yang sangat berperan penting dalam upaya pembuatan makalah ini.

Makalah  yang bertemakan “ segitiga ” ini, kami buat untuk memenuhi tugas wajib setiap kelompok sebagai penunjang nilai mata kuliah geometri bidang dan ruang.

Penyajian makalah ini terdiri dari pembahasan-pembahasan mengenai definisi, bagian- bagian, sifat- sifat segitiga dan pembahasan rumus phythagoras.

Kami selaku penyusun menyadari bahwa “tak ada gading yang tak retak” oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat kami harapkan, guna dapat memperbaiki dan meningkat kualitas pembuatan makalah dimasa yang akan datang.

Akhir kata  “ semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan bagi perkembangan dunia pendidikan. Amin-amin yaa rabb al-alaminn”.

Indramayu,   Noveber
2011

Penyusun

 

DAFTAR ISI

                  

KATA PENGANTAR _________________________________   i

DAFTAR ISI ______________________________________   iii

BAB  I: PENDAHULUAN _____________________________   1

A.   Latar Belakang Masalah ________________   1

B.   Tujuan______________________________   1

C.    Manfaat ____________________________   1

BAB II: pembahasan _______________________________   2

1.   Definisi segitiga________________________   2

2.   Bagian – bagian segitiga_________________   3

3.   Sifat – sifat segitiga____________________   4

4.   Luas dan keliling segitiga ________________   9

5.   Dalil phythagorass _____________________   15

6.   Contoh soal __________________________   17

7.   Jawaban soal _________________________   18

BAB III:PENUTUP __________________________________   19

A.   kesimpulan ___________________________   19

DAFTAR PUSTAKA__________________________________   20

BAB I

PENDAHULUAN

A.   Latar Belakang Masalah

    Segitiga merupakan salah satu macam dari komponen geometri bidang, setelah diturunkan dari trapesium bangun asalnya yakni jajar genjang, yang kemudian menjadi trapesium, persegi panjang, layang- layang, belah ketupat, persegi, dan kemudian barulah menjadi segitiga.
    Banyak macam segitiga di sekeliling kita, mulai dari pemandangan gunung yang terlihat dari jauh berupa segitiga, sampai hanger ( gantungan baju ) pun mengikuti prinsip pelukisan segitiga. Oleh karena itu, kami mengangkat judul “segitiga” .

B.   TUJUAN

a.   Untuk memenuhi tugas wajib  setiap kelompok sebagai penunjang nilai mata kuliah geometri bidang dan ruang.

b.   Untuk menginformasikan kepada pembaca mengenai segitiga dalam lingkup geometri bidang.

C.   MANFAAT

a.   Dapat menuhi tugas wajib  setiap kelompoK sebagai penunjang nilai mata kuliah geometri bidang dan ruang.

b.   Dapat menginformasikan kepada pembaca mengenai segitiga dalam lingkup geometri bidang.

B

                        Bab II
                                pembahasan



1. Definisi segitiga

segitiga adalah bangun datar yang dibentuk oleh tiga titik yang letaknya tidak segaris dan tiga ruas garis yang menghubungkan ketiga titik tersebut dengan jumlah sudutnya 180⁰.

kenapa sudut pada segitiga sejumlah 180^0. . . ?
          karena ketika ketiga sudutnya di gabungkan akan membentuk sudut berpelurus ( 180⁰ )
dalam bahasan geometri dapat dibuktikan sebagai berikut.
         

A

C

 

         

Menjadi

 

Dari gambar diatas dapat didibutikan bahwa hasil gabungan 3 buah sudut dari segitiga menghasilkan sudut berpelurus.

@ pemberian nama segitiga dengan menggunakan tiga huruf kapital dan segitiga pula dilambangkan dengan .

2. Bagian – bagian segitiga
         

         
bagian – bagian segitiga ABC ( ABC) diatas;
          @ sisi a = BC (sisi alas)
                     b = AC (kaki segitiga)
                     c = AB (kaki segitiga)
          @ titik sudut; A, B, dan C.
          @ sudut;  A, B , dan  C
                    keterangan :
                    * A dan  B adalah sudut- sudut alas
                   *  C adalah sudut puncak
          @ tinggi segitiga ; t_a, t_b, t_c.

3. Sifat – sifat segitiga

a).  Menurut panjang sisinya:

C

B

A

 1.sifat 1.
Mempunyai ketiga sisi yang sama panjang, sehingga mempunyai sudut yang sama besar, yaitu 60⁰

keterangan :
Sisi = sisi = sisi ( sisi-sisinya sama panjang )
Sudutnya sama besar yaitu 60⁰

Jadi, segitiga yang dibentuk dari ketiga sisi yang sama panjang dan sudut yang sama besar dapat juga di sebut segitiga sama sisi

2. sifat 2

mempunya dua dari ketiga sisi yang sama panjang dan memiliki dua dari ketiga sudut yang sama besar

B

A

C

Keterangan :
Sisi = sisi ≠ sisi  (Memiliki dua sisi dari ketiga sisi yang sama)

Sudut = sudut ≠ sudut (memiliki dua sudut dari ketiga sudut yang sama)

Jadi, segitiga yang dibentuk dari dua sisi yang sama dan dua sudut yang sama dapat juga disebut segitiga sama kaki


3. sifat 3    

mempunya ketiga sisi dan ketiga sudut yang tak sama panjang dan   tak sama besar

B

C

A

keterangan :

Sisi ≠ sisi ≠ sisi (ketiga sisinya saling beda)

Sudut ≠ sudut ≠ sudut (ketiga sudutnya saling beda)

Jadi, segitiga yang terbentuk dari ketiga sisi dan ketiga sudut yang tak sama panjang dan tak sama besar dapat juga disebut segitiga sembarang

b). Menurut besar sudut terbesarnya:

1. Sifat 1

mempunyai salah satu sudut yang besarnya 90⁰, terletak tepat didepan hipotenusa (sisi miring)

B

C

A

keterangan :
Besar sudut yang terletak didepan hipotenusa adalah 90⁰.

Jadi,segitiga yang mempunyai salah satu sudut yang besarnya 90⁰, terletak tepat didepan hipotenusa (sisi miring) dapat juga disebut segitiga siku - siku

A

C

B

2. sifat 2

 mempunyai semua sudut yang besarnya kurang dari 90⁰(<90^o) dan ketiga sudutnya itu tak harus sama besar.
dalam kata lain :

keterangan :
 1. Ketiga sudutnya kurang dari 90⁰ (<90^o)
2. ketiga sudutnya itu tak harus sama besar

Jadi, segitiga yang semua besar sudutnya kurang dari 90⁰(<90^o ) dan ketiga sudutnya itu tak harus sama besar dapat juga disebut segitiga lancip


3. Sifat 3

mempunyai salah satu sudut yang besarnya lebih dari 90⁰ (> 90^o), terletak tepat didepan hipotenusa (sisi miring)

B

 

C

A

Keterangan :
1. sudut yang besarnya lebih dari 90⁰ (> 90^o),  terletak tepat didepan hipotenusa (sisi miring)

 Jadi, segitiga yang mempunyai salah satu sudut, yang besarnya lebih dari 90⁰ (> 90^o), terletak tepat didepan hipotenusa (sisi miring) dapat disebut juga segitiga tumpul.

4. Luas dan keliling segitiga
            B






                                                                                 

          C                                                                      A

gambar diatas menunjukan segitiga ABC dengan BC = sisi a, AC = sisi b, AB = sisi c
 
@ keliling suatu bangun datar dapat dihitung dengan dengan mengetahui hasil jumlah dari semua sisi nya.
jadi, dapat disimpulkan keliling segitiga dapat dihitung dengan cara sebagai berikut :

K  ABC = sisi a + sisi b + sisi c
             = a + b + c

4.1.  luas segitiga

C

B

C

          Luas sebuah segitiga dapat dihitung dengan cara rumusan turunan geometri dari persegi

Setelah dibagi menjadi dua bagian

s

 

A

D

D

A

s

Dari gambar diatas dapat disimpulkan bahwa sebuah segitiga siku – siku berawal dari sebuah persegi yang dilipat berdasarkan diagonalnya.
karena rumus dari segitiga adalah
L persegi ABCD = s . s
dalam artian luas segitiga sama dengan setengah dari luas persegi, yaitu :
L  ACD =  sisi AD . sisi DC
dalam kata lain rumus segitiga adalah =     alas  . tinggi

C

4.2. Luas segitiga dengan aturan sinus.

C

 

bv

a

t

b

a

         

t

D

 

c

D

B

A

c

B

A

Pembuktian :
Dari titik C titarik garis tinggi t.
perhatikan segitiga siku – siku CAD dapat diperoleh relasi

perhatikan segitiga siku – siku CBD dapat diperoleh relasi

pensubstitusian hasil relasi

dengan cara serupa dapat dibuktikan

 sehingga dapat disimpulkan bahwa segitiga ABC, memiliki sisi – sisi yang  sebanding dengan sinus sudut seberangnya.

4.3.  Luas segitiga dengan aturan cosinus

C

a

b

C

 

a

t

b

t

D

A

c

B

A

c

D

B

 

Kita tarik garis tinggi CD. Misal panjang CD = t
perhatikan segitiga siku – siku BCD diperoleh :
 ............................................................... (1)
𝐷𝐵=𝑎  .......................................................... (2)

 Disisi lain :

 ......................................................... (3)

 ................................................... (4)

Perhatikan segitiga siku – siku ACD diperoleh :
 ........................................................ (5)

Mensubstitusikan persamaan (1) dan (4) ke persamaan (5).

Sehingga didapat :

4.4. Luas segitiga yang ketiga sisinya diketahui.

didapat dari rumus heron sebagai berikut :
L =

berikut cara dan pembuktiannya :

Jika dalam segitiga ABC  yang diketahui sisi- sisinya , b, dan c, jika  s =  , maka dapat didapat rumus heron adalah  L =

 

pembuktian :

Luas  ABC dapat dinyatakan :
L  ABC =  bc sin A

L  ABC =  bc

L  ABC =  bc

L  ABC =  bc

L  ABC =  bc

L  ABC =  bc

L  ABC =  bc

L  ABC =  

L  ABC =    

L  ABC =    

L  ABC =    

L  ABC =  

L  ABC =  

L  ABC =  

L  ABC =  4

L  ABC =  

L  ABC =  . . . . . terbukti benar bukan. .  !!!

5. Dalil phithagoras

5.1.  definisi phythagoras

          Dalil phythagoras adalah suatu dalil dalam matematika yang penggunaannya meluas terutama dalam penghitungan sisi miring ( hipotenusa ). Dalil phythagoras tak lain merupakan kuadrat sisi miring dari sebuah segitiga yang berbanding lurus dengan jumlah kuadrat sisi yang tegak lurus.

         

5.2. pembuktian dalil phythagoras

Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku  Dalil Pythagoras , yaitu  :

c²    =    a²   +    b² 

 
 
atau

Kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi-sisi yang saling tegak lurus
                                                         

Dalil phythagoras diatas dapat dibuktikan dengan pembuktian sebagai berikut :

Dari gambar diatas diketahui bahwa:
persegi yang besar habis terisi dengan satu pesegi kecil dan segitiga.
jadi dapat di simpulkan ;




                   Luas persegi yg besar = luas persegi kecil + 4 luas segitiga

                                               

contoh soal :

E, F, G, dan H adalah titik tengah masing-masing sisi persegi panjang ABCD. Dan K adalah titik tengah garis HE.

Jika persegi panjang ABCD memiliki luas 12 m², berapakah luas segitiga KFG?

Jawaban: :

Misalkan panjang persegi panjang ABCD adalah p dan lebarnya adalah l, maka pl = 12
Luas daerah segitiga AHE = luas segitiga GCF = ½ x ½ p x ½ l = ⅛ x 12 = 1,5 m²
Selanjutnya kita harus mencari luas daerah DGKH dan FBEK. Untuk mencari luas kedua daerah, kita dapat menambahkan beberapa garis pada gambar sebagai berikut :

Daerah DGKH kita bagi dua menjadi dua segitiga, yaitu segitiga DKH dengan alas DH dan tinggi KI dan segitiga DGH dengan alas DG dan tinggi KJ.
Luas segitiga DKH = ½ x ½ l x KI = ¼ l x KI
Luas segitiga DGH = ½ x ½ p x KJ = ¼ p x KJ
Daerah FBEK kita bagi dua menjadi dua segitiga, yaitu segitiga FBK dengan alas FB dan tinggi KK dan segitiga BEK dengan alas BE dan tinggi KL.
Luas segitiga FbK = ½ x ½ l x KK = ¼ l x KK
Luas segitiga BEK = ½ x ½ p x KL = ¼ p x KL
Luas segitiga DKH + luas segitiga FbK = ¼ l x KI + ¼ l x KK = ¼ l x (KI + KK)
Karena KI + KK = p , maka
Luas segitiga DKH + luas segitiga FNK = ¼ pl = ¼ x 12 = 3 m²
Dengan cara yang sama kita dapatkan pula :
Luas segitiga DKH + luas segitiga FNK = ¼ pl = ¼ x 12 = 3 m²
Sehingga luas daerah persegi panjang di luar daerah segitiga FGK adalah 1,5 + 1,5 + 3 + 3 = 9 m²
Maka luas daerah segitiga FGK = 3 m²

                                                                          Bab III
                                                penutup

kesimpulan

segitiga adalah bangun datar yang dibentuk oleh tiga titik yang letaknya tidak segaris dan tiga ruas garis yang menghubungkan ketiga titik tersebut dengan jumlah sudutnya 180⁰.
segitiga mempunya rumus keliling
K  ABC = sisi a + sisi b + sisi c
             = a + b + c
dan rumus luas dari sebuah segitiga dapat dihitung dengan berbagai cara, yaitu:
* menghitung dengan cara perbandingan geometri
* menghitung dengan cara aturan sinus
* menghitung dengan cara aturan cosinus
* menghitung dengan cara rumus heron

dan segitiga punya keterkaitan yang sangat kuat degan rumus phythagras yaitu :

c²    =    a² +  b²

kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi  tegak lurus

Daftar pustaka



budhi, wahono setya,2003, langkah awal menuju ke olimpiade matematika, cv.                  Ricardo, jakarta.
mutadi, 2008, bergelut degan si asyik matematika, lista fariska putra, kudus.
dharmawi, hendra, dkk, 2007, jago olimpiade matematika, i publishing, gading serpong- banten.
suadi, 2009, cepat menyelesaikan soal matematika sma,kawan pustaka, ciganjur- jakarta selatan.
sugeng, muh. Amin, 2010, rangkuman rumus praktis bahasa inggris, matematika, fisika, dan kimia, tim presiden eduka, surabaya.
setiawan, tedy, 2009, seri UN- SNMPTN matematika dari A-Z, yrama widya, bandung.
 

http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem

http://ayikrisnha.wordpress.com/

http://labarasi.wordpress.com/2011/01/20/soal-olimpiade-matematika-tentang-  luas-segitiga-dan-persegi-panjang/

http://olimatik.blogspot.com/2011/07/soal-10-geometri-garis-berat-pada-suatu.html